矩阵论笔记1

线性空间上的线性算子

Def : 非空数集$Z$对于加、减、乘运算封闭,称为一个数环

根据定义:

  1. 任何数环必含有$0$
  2. $Z = \lbrace 0\rbrace$ 是最小的数环

Def: 如果$P$是至少含有两个互异数的数环,并且对于除法封闭,则说$P$是一个数域

根据定义:任何数域必含有$0,1$

全体整数组成一个数环,全体有理数组成一个数域(并且是最小的数域)

Def: 设$V_1,V_2$ 都是数域$P$ 上的线性空间$V$ 的子空间, $V_1, V_2$的和空间$V_1 + V_2 = \lbrace x + y |x\in V_1, y\in V_2 \rbrace$ , $V_1,V_2$ 的交空间$V_1 \bigcap V_2 = \lbrace x|x\in V_1 \land x\in V_2\rbrace$

Theory: 和空间、交空间 都是$V$ 的子空间。

Theory:(维数公式) 设$V_1,V_2$ 是数域$P$ 上的线性空间$V$ 的两个子空间,则

$$\mathrm{dim}V_1 + \mathrm{dim}V_2 = \mathrm{dim}(V_1 + V_2) + \mathrm{dim}(V_1 \bigcap V_2)$$

Def: 如果$V_1 + V_2$ 中的任一向量只能唯一的表示为子空间$V_1$ 和子空间$V_2$ 的一个向量的和,则称$V_1 + V_2$ 为直和 ,记为$V_1\bigoplus V_2$ 。

Theory: $V_1 + V_2$ 为直和的充要条件是:$V_1 \bigcap V_2$ 为零子空间。即$V_1 \bigcap V_2 = \lbrace 0\rbrace$ 。

Corollary: $\mathrm{dim}(V_1\bigoplus V_2) = \mathrm{dim}V_1 + \mathrm{dim}V_2$

Theory: 设$V_1$ 是$n$ 维线性空间$V$ 的一个子空间,则一定存在$V$ 的一个子空间$V_2$, 使得$V = V_1 \bigoplus V_2$ 。

线性算子$\mathcal{A}$ 把线性相关的向量组仍变为线性相关的向量组。

Def: 设$\mathcal{A}$ 是$V$ 到$V’$ 的线性算子,且满足:

  1. $\mathcal{A}(V) = V’$ (全映射)
  2. 若$x_1,x_2\in V, x_1\neq x_2$, 则$\mathcal{A}(x_1) \neq \mathcal{A}(x_2)$ (可逆映射)

那么称$\mathcal{A}$ 是$V,V’$ 的一个同构算子 。若$V,V’$ 之间存在同构算子,则称$V,V’$ 是同构的线性空间 ,简称$V,V’$ 同构。

同构线性空间的基本性质:

  1. 传递性
  2. 同构线性空间的零向量必定是互相对应的
  3. 同构的线性空间衷的线性相关向量组对应于线性相关的向量组,线性无关的向量组对应于线性无关的向量组

Theory: 数域$P$ 上两个有限维线性空间同构的充要条件是两空间的维数相等。

Corollary: 数域$P$上的任何$n$ 维线性空间$V^n$ 都与特殊的线性空间$K^n = \lbrace (a_1,a_2,\cdots,a_n)|a_i\in P\rbrace$ 同构。

Def: 由$V$ 到$V$ 的线性算子$\mathcal{A}$ 叫做$V$ 上的线性变换

Theory: 设$\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_n$ 是数域$P$ 上$n$ 维线性空间$V$ 的一组基,在这组基下,每个线性变换对应一个$n$ 阶矩阵,这个对应有以下的性质:

  1. 线性变换的和对应于矩阵的和
  2. 线性变换的乘积对应于矩阵的乘积
  3. 线性变换与数的积对应于矩阵与数的积
  4. 可逆的线性变换与可逆矩阵对应,且逆变换对应于逆矩阵
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